龐卡黑的非歐幾何模型

昂利·龐卡黑 (Jules Henri Poincaré, 1854 - 1912)，是近代少數在數學各領域有全面貢獻的數學家。他的姓名在台灣常被譯為「亨利·龐加萊」，但我猜上面的譯法比較接近法文的發音。

龐卡黑的貢獻太多，我挑一個我上課比較會提到的來分享。其一是關於非歐幾何的模型。眾所周知，歐氏幾何的第五設準（其等價條件被稱為「平行公設」，大致是在平面上過線外一點恰可作一條平行線），因為作為基本假設十分突兀，所以歷史上許多學者都想「證明」它但沒有成功。19世紀初，高斯等人以第五設準的否定作為假設，建構出自我相容的非歐幾何世界，從而間接說明當年歐幾理德將第五設準作為基本假設的正當性。也把康德的對時間與空間的論述給予重擊。從非歐幾何建構出來的一些美麗新世界，有很多歐氏幾何難以想像的性質。比如，克萊因 (Felix Klein) 與龐卡黑都曾經提出過一些表面上在歐氏幾何中是有限的空間，但經過適當的距離與點線面定義，可以變成符合非歐幾何的「無限」空間。龐卡黑甚至加入一些物理定律的設計，使得空間中的居住者會認為他們空間是「無限的」。

又來聊明帝國 - 崇禛帝與21世紀的台灣

明崇禛帝因為是亡國之君，在大眾文化裏的形象通常是很負面。很多政治評論者甚至把21世紀的某位台灣總統比喻為崇禛，崇禛帝的負面形象可見一斑。其實我對崇禛沒有什麼研究，但我知道他在位時做的曆法改革影響世人至今。

在他們身上，數學與物理相遇

1827年4月23日，愛爾蘭學者哈密頓 (William Rowan Hamilton, 1805-1865) 發表光學理論論文 "Theory of Systems of Rays". 其實我之前對這位學者沒有什麼研究，只在讀數學的時候看過幾次他的姓。他除了是物理學家，也是很重要的數學家，看維基百科之後，還發現他在歐語之外還通波斯語、梵語、阿拉伯語及馬來語等。因為我個人對語言也很有興趣，所以越發崇拜這個人。

只是想整理臉書雜談

開新網誌, 只是想把在臉書上寫的一些雜談整理一下, 因為臉書的文章內容無法用一般的搜尋引擎找到, 放在這裡或許會有多一點的人來看.

我會從2010年的文章整理起, 敬請期待.

Premier 12

這次的IBAF大會在日本召開, 所以日本的新聞來源有很多. 關於2015年首屆超級12強大賽, 看起來官方的說法只有 "最好的12國", "與MLB溝通", "以棒球重返2020奧運為目標"等等. 如何決定12強的方法, 以及如何讓各國派出最好選手的策略都沒談到.

WBC 冠軍已經被國際棒總冠上 "World Champion" 的封號, 是公認的世界冠軍, 超級12強不見得會得到各國同樣的重視, 大聯盟會不會願意它的搖錢樹每兩年去打一次大比賽, 會是個大問號.

死刑與復仇

這兩天有很多很政治的大事. 阿扁移監跟死刑槍決這兩件事情, 轉移部分對核四的關注. 波士頓爆炸案再次牽動大家對恐怖主義的神經, 但台灣人看新聞似乎以看戲的成分居多?

World Baseball Classic all-time win-loss records

2013年為止 WBC 參賽國通算成績列表.

日本人與國民黨, 台灣在乎誰?

南京大屠殺, 哪些人的責任比較大, 我真的不清楚, 要請對二戰歷史比較熟的朋友指教. 不過, 日本在二戰前與二戰時, 對台灣, 中國, 韓國與印尼等國家的人民造成的痛苦, 應該是舉世公認的. 包含慰安婦在內, 各種戰爭罪行的補償, 道歉, 悔罪等行為, 亞洲各國仍然覺得日本人做得不夠. 相較於歐洲與德國來說, 亞洲各國與日本似乎從沒有真正從二戰的陰影中走出來.

台灣人常常被韓國人與中國人認為過度親日, 不過終戰之後, 日本對台灣頗為友善也是事實. 我偶爾也在想, 大多數台灣人為什麼不會像韓國人一樣強力要求日本的道歉與賠償呢? 這兩天我突然想通. 如果多數台灣人對父親年代經過的白色恐怖, 都不強力要求國民黨全面進行轉型正義的工程, 那麼對於阿公與阿祖年代的日人惡行, 當然就不在乎啦!

到台灣落地生根的老伯伯們過得好嗎?

據說1954年4月11日是史上最無聊的一日，我覺得會去做這種統計的人也很無聊。用網路找了一下這一天台灣有沒有什麼大事，結果海峽兩岸的網頁用不同的話語寫下那天發生的同一件事：

康熙與數學

3月瘋棒球，沒有用日曆閒聊。4月4日的誠品日曆讓我想到兩件事可以分享，一件是康熙帝，另一件是人頭稅。1712年除了有「永不加賦」這件事，另一件事也影響深遠，就是《數理精蘊》開始編輯。

滿人在1644年入關，取代明成為中原的統治者。一般認為，清政府政權長期穩固的原因在於能安撫並有效控制漢族士大夫，乾隆朝編纂《四庫全書》與大興文字獄的懷柔與高壓兩手策略是最常被提到的手段。事實上，康熙朝天文曆算與著作的編纂與地理測繪的實行，也是帝國控制的手段之一。對於入關不久的滿族（即漢人眼中的「蠻族」）而言，如何能像古代聖王一般控制天（天文曆法）、地（地理測繪）、人（士大夫的忠誠），是康熙帝不可避免的重要課題，而此時耶穌會傳教士所帶來的西方科學與數學，正好變成康熙帝實行帝國控制的利器。

康熙初年，由楊光先所挑起的反教案，阻礙耶穌會苦心經營的傳教事業。這場因曆法更動而起的「曆獄」，後因比利時耶穌會士南懷仁 (Ferdinand Verbiest) 憑藉著正確的天文觀測而平反。在此事件中，康熙本人很受震動，認為天文官的無能會損害天子提供人民正確曆法的義務，進而影響新皇朝的統治基礎。這是康熙希望學習西學的起源。康熙年輕時，主要由南懷仁講授西方科學。1685年，比利時耶穌會士安多 (Antoine Thomas) 應召入京，亦向康熙進講。1688年，法國耶穌會士白晉(Joachim Bouvet)、張誠 (Jean-François Gerbillon) 等人到達北京後，康熙學習西方科學的熱情更濃。學習西方科學之後，康熙本人也常展現出在天文與地理測量上之事實仲裁者的角色，藉以確保官方知識的正確性，與帝國官員的忠誠（因為他們無法在技術細節上欺騙皇帝）。

康熙帝對西方科學的熱情，也展現在他對數學的興趣之上。1690年初，張誠、白晉用滿語進講歐氏幾何，用的滿文與漢文講義是根據法國耶穌會士巴蒂 (Ignace-Gaston Pardies) 的 Elémens de Géométrie 改寫而成。康熙本人也向安多學習了歐洲代數「借根方算法」。但康熙與歐洲傳教士的蜜月期，在18世紀初結束。1705 – 1711年，因為天主教的「禮儀之爭」，以及部分傳教士對天文表的藏私，加深了康熙對在朝廷與宮中任職之傳教士的不信任感，並且萌生念頭，認為他的帝國有必要擁有獨立的科學知識，以擺脫對傳教士的依賴。

1712至1713年間，康熙命在暢春圓蒙養齋開「算學館」編修《律曆淵源》，包含《數理精蘊》（算學）、《曆象考成》（曆法）、《律呂正義》（音律）三部分，由皇三子誠親王胤祉、數學家何國宗與梅瑴成主持編修事宜。當時應召在蒙養齋編書的學者在百人以上。《數理精蘊》最終在1723年，康熙死後次年刊行，整體上來說是一部融合當時所知的中國與歐洲數學的作品。這本書主導了18世紀初至19世紀中葉的東亞數學發展，原因之一是它被當作官方正典 (Canon)。當時東亞各國的數學家幾乎都是從這本書出發，學習算學，並以此為基礎之一進行研究創新。

頁面上說的「永不加賦」，查了清史稿，確有其事。網路上胡亂搜尋一下也有學者的討論，認為後來造成清國財政的問題。不過，這裡指的「永不加賦」，看網路上的討論，似乎是指「人頭稅」，也就是按人頭徵稅，而不是田賦或勞役。田賦與勞役當然還是會依照需求調整，只是每戶需要交的人頭稅，不會因人口增加而增加。

人頭稅這件事情有不少有趣的面相可以討論。我手邊的文獻比較多的是西漢的資料。西漢的人丁稅稱為「筭」或「算賦」。西漢於公元前203年時開始實行算賦，「民年十五以上至五十六出賦錢，人一百二十為一算，為治庫兵車馬」。

人頭稅這種稅制是否合理，有很多討論。但是古代國家也常常用這種稅賦來鼓勵或勸退某些行為。比如漢代的算賦。正常情形為每人出一筭，但是「賈人與奴婢倍筭」，也就是說，商人必須交付雙倍的人頭稅，畜養奴僕的家庭也必須為這些奴僕交出雙倍的算賦。很明顯地，西漢在政策上不鼓勵商業與蓄奴。

另外，為了增加人口，西漢政府提倡早婚。有些資料上看到的是，女子15歲以上未嫁，每三年算賦加一倍，最多到30歲增到五倍。這使得未婚女性成為家庭沈重的負擔，可以想見老百姓會快快把女兒嫁掉。台灣這幾年少子化，有人突發奇想要徵單身稅。其實22個世紀前就有過這種事。30歲不結婚要交五倍的稅，真是可怕…